6. (3 б) Обчисліть значення виразу: 8tg 11π + sin(43π/4) + cos(21π/4)

Решение:

Вычислим каждое слагаемое отдельно:

1. \( \operatorname{tg} 11\pi \): Период тангенса равен \( \pi \). \( \operatorname{tg} 11\pi = \operatorname{tg} 0 = 0 \).
2. \( \sin \frac{43\pi}{4} \): \( \frac{43\pi}{4} = \frac{40\pi + 3\pi}{4} = 10\pi + \frac{3\pi}{4} \). Период синуса равен \( 2\pi \). \( \sin \left(10\pi + \frac{3\pi}{4}\right) = \sin \left(\frac{3\pi}{4}\right) \). Угол \( \frac{3\pi}{4} \) находится во II четверти, где синус положительный. \( \sin \left(\frac{3\pi}{4}\right) = \sin \left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) = \sin \left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \).
3. \( \cos \frac{21\pi}{4} \): \( \frac{21\pi}{4} = \frac{20\pi + \pi}{4} = 5\pi + \frac{\pi}{4} \). \( \cos \left(5\pi + \frac{\pi}{4}\right) = \cos \left(\pi + \frac{\pi}{4}\right) \) (так как \( 5\pi = 4\pi + \pi \)). Угол \( \pi + \frac{\pi}{4} \) находится в III четверти, где косинус отрицательный. \( \cos \left(\pi + \frac{\pi}{4}\right) = -\cos \left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \).

Теперь сложим полученные значения:

\( 8 \cdot 0 + \frac{\sqrt{2}}{2} + \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 0 + 0 = 0 \).

Ответ: 0.