6. (3 б) Розв’яжіть рівняння 5^(2x+1) = 25 + 74·5ˣ + 2·5^(2x)

Переклад завдання: Розв’яжіть рівняння 5^(2x+1) = 25 + 74·5ˣ + 2·5^(2x).

Позначимо t = 5ˣ. Оскільки 5ˣ > 0, маємо t > 0. Тоді 5^(2x+1) = 5t², а рівняння набуває вигляду 5t² = 25 + 74t + 2t².

Перенесемо всі члени в одну частину: 3t² − 74t − 25 = 0. Дискримінант D = 74² + 4·3·25 = 5776 = 76², тому t = (74 ± 76)/6. Звідси t = 25 або t = −1/3. Умова t > 0 залишає лише t = 25.

Отже, 5ˣ = 25 = 5², тому x = 2.

Відповідь: 2.

Переклад відповіді: Єдиний корінь рівняння — x = 2.