7. (3 б) Розв’яжіть нерівність (1/9)⁻√(x²−3) + 3 < 28·3^(√(x²−3)−1)

Переклад завдання: Розв’яжіть нерівність (1/9) у степені −√(x²−3), плюс 3, менше за 28·3^(√(x²−3)−1).

Спочатку врахуємо область визначення: x² − 3 ≥ 0. Позначимо u = √(x² − 3), тоді u ≥ 0. Оскільки 1/9 = 3⁻², маємо (1/9)⁻ᵘ = 3²ᵘ. Нерівність стає 3²ᵘ + 3 < 28·3^(u−1).

Позначимо z = 3ᵘ. Тоді z ≥ 1, а нерівність еквівалентна 3z² − 28z + 9 < 0. Корені квадратного тричлена: z = (28 ± 26)/6, тобто 1/3 і 9. Тому 1/3 < z < 9. З урахуванням z ≥ 1 отримуємо 1 ≤ z < 9.

Отже, 0 ≤ u < 2, тобто 0 ≤ √(x² − 3) < 2. Після піднесення до квадрата: 3 ≤ x² < 7.

Відповідь: x ∈ (−√7; −√3] ∪ [√3; √7).

Переклад відповіді: Розв’язком є x від −√7 до −√3 включно, а також від √3 включно до √7 невключно.