6.69 Начертите прямоугольный треугольник MNP с прямым углом N. а) Через вершины проведите прямые, параллельные сторонам. Обозначьте точки пересечения прямых буквами. Какой треугольник с вершинами в отмеченных точках получился? б) Через вершины М и Р проведите прямые, перпендикулярные сторонам треугольника. Сколько прямоугольных треугольников на рисунке?

Решение:

а)

1. Начертим прямоугольный треугольник MNP с прямым углом в вершине N.
2. Через вершину M проведем прямую, параллельную стороне NP.
3. Через вершину P проведем прямую, параллельную стороне MN.
4. Эти две прямые пересекутся в некоторой точке, назовем ее Q.
5. Через вершину N проведем прямую, параллельную стороне MP. Эта прямая пересечет прямую MQ в точке M, а прямую PQ в точке P.
6. Получившийся четырехугольник MNPQ будет прямоугольником, так как у него все углы прямые (угол N прямой по условию, углы M и P при вершинах треугольника, углы при пересечении параллельных прямых).
7. Таким образом, треугольник с вершинами в отмеченных точках (например, если взять точки пересечения так, чтобы получился новый треугольник внутри прямоугольника) будет прямоугольным.

б)

1. Через вершину M проведем прямую, перпендикулярную стороне NP. Эта прямая совпадет со стороной MN.
2. Через вершину P проведем прямую, перпендикулярную стороне MN. Эта прямая совпадет со стороной PN.
3. Итак, на рисунке будет один основной прямоугольный треугольник MNP. Если рассматривать все возможные прямоугольные треугольники, образованные сторонами и проведенными прямыми, то их может быть больше, в зависимости от того, как проведены дополнительные прямые. Однако, если следовать условию «через вершины М и Р проведедите прямые, перпендикулярные сторонам треугольника», то эти прямые совпадают со сторонами треугольника, и новых прямоугольных треугольников не образуется, кроме исходного.
4. Если же имеется в виду построение высот из вершин M и P на противоположные стороны (если бы это был не прямоугольный треугольник), то в прямоугольном треугольнике высоты из острых углов на катеты совпадают с катетами. Высота из вершины N на гипотенузу MP также образует два прямоугольных треугольника.
5. Таким образом, в зависимости от трактовки, можно насчитать 1 (только исходный) или 3 (исходный и два, образованные высотой из прямого угла) прямоугольных треугольника. Обычно в таких задачах подразумевается исходный и те, что образуются при проведении высоты из прямого угла на гипотенузу.

Ответ:

• а) Прямоугольным.
• б) 3.