6. AE и BE — хорды окружности, AB — ее диаметр. Найдите длину хорды AE, если радиус окружности равен 4, BE = 4√3.

Решение:

Так как AB — диаметр окружности, то угол ∠AEB является вписанным углом, опирающимся на диаметр. Следовательно, \( \angle AEB = 90^{\circ} \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник AEB. По теореме Пифагора:

\( AE^2 + BE^2 = AB^2 \)

Диаметр AB равен удвоенному радиусу:

\( AB = 2 \cdot 4 = 8 \)

Подставим известные значения в теорему Пифагора:

\( AE^2 + (4\sqrt{3})^2 = 8^2 \)

\( AE^2 + (16 \cdot 3) = 64 \)

\( AE^2 + 48 = 64 \)

\( AE^2 = 64 - 48 \)

\( AE^2 = 16 \)

\( AE = \sqrt{16} \)

\( AE = 4 \)

Ответ: 4.