6. AF и CP — хорды окружности, AC — ее диаметр. Найдите длину хорды CF, если радиус окружности равен 6, AF = 4√5.

Дано:

• AC — диаметр окружности.
• Радиус окружности r = 6.
• \[ AF = 4\sqrt{5} \]

Найти:

• \[ CF \]

Решение:

Так как AC — диаметр, то углы \[ \angle AFC \] и \[ \angle ABC \] опираются на диаметр и, следовательно, равны 90°.

Рассмотрим прямоугольный треугольник \[ \triangle AFC \]. По теореме Пифагора:

\[ AF^2 + CF^2 = AC^2 \]

Диаметр AC равен удвоенному радиусу: \[ AC = 2r = 2 \cdot 6 = 12 \]

Подставляем известные значения:

\[ (4\sqrt{5})^2 + CF^2 = 12^2 \]

\[ 16 \cdot 5 + CF^2 = 144 \]

\[ 80 + CF^2 = 144 \]

\[ CF^2 = 144 - 80 \]

\[ CF^2 = 64 \]

\[ CF = \sqrt{64} \]

\[ CF = 8 \]

Ответ: 8