6. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Известно, что ∠DBC = 27°, ∠ABD = 30°, ∠BDC = 73°. Найдите углы четырёхугольника.

Решение:

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Это означает, что сумма противоположных углов равна 180°.

Углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Дано:

• ∠DBC = 27°
• ∠ABD = 30°
• ∠BDC = 73°

1. Найдем ∠ABC:

∠ABC = ∠ABD + ∠DBC = 30° + 27° = 57°.

2. Найдем ∠ADC:

Угол ∠ADC вписанный и опирается на дугу ABC. Также, угол ∠ABC вписанный и опирается на дугу ADC. Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180°.

∠ADC + ∠ABC = 180°.

∠ADC + 57° = 180°.

∠ADC = 180° - 57° = 123°.

3. Проверим ∠ADC через углы, опирающиеся на дуги:

Угол ∠BDC = 73° (опирается на дугу BC).

Угол ∠BAC опирается на дугу BC, следовательно ∠BAC = ∠BDC = 73°.

Угол ∠ADB опирается на дугу AB. Угол ∠ACB опирается на дугу AB, следовательно ∠ADB = ∠ACB.

Угол ∠CAD опирается на дугу CD. Угол ∠CBD опирается на дугу CD, следовательно ∠CAD = ∠CBD = 27°.

Угол ∠BAC = 73°.

Угол ∠CAD = 27°.

∠BAD = ∠BAC + ∠CAD = 73° + 27° = 100°.

4. Найдем ∠BCD:

∠BCD + ∠BAD = 180°.

∠BCD + 100° = 180°.

∠BCD = 180° - 100° = 80°.

5. Проверим ∠BCD через другие углы:

∠BCD = ∠BCA + ∠ACD.

Нам нужно найти ∠ADB и ∠ACB.

В треугольнике BDC: ∠DBC = 27°, ∠BDC = 73°. Сумма углов = 27° + 73° = 100°. Значит ∠BCD (в треугольнике BDC) = 180° - 100° = 80°. Это совпадает с нашим ∠BCD.

Итоговые углы четырёхугольника:

• ∠ABC = 57°
• ∠BCD = 80°
• ∠CDA = 123°
• ∠DAB = 100°

Проверка: 57° + 80° + 123° + 100° = 360° (сумма углов четырёхугольника).

Проверка противоположных углов:

• ∠ABC + ∠CDA = 57° + 123° = 180° (верно).
• ∠BCD + ∠DAB = 80° + 100° = 180° (верно).

Финальный ответ:

Углы четырёхугольника равны: ∠ABC = 57°, ∠BCD = 80°, ∠CDA = 123°, ∠DAB = 100°.