7*. В окружности радиуса 12 см проведён диаметр и на нём взята точка А на расстоянии 6 см от центра. Найдите радиус второй окружности, которая касается диаметра в точке А и изнутри касается данной окружности.

Дано: Большая окружность с центром О, радиус R = 12 см. Точка А на диаметре, OA = 6 см. Малая окружность касается большой изнутри и диаметра в точке А.

Решение:

1. Пусть центр малой окружности - О1, а её радиус - r. Малая окружность касается большой изнутри, значит, расстояние между их центрами равно разности радиусов: OO1 = R - r.
2. Малая окружность касается диаметра в точке А. Это означает, что точка А лежит на малой окружности, и радиус О1А перпендикулярен диаметру. Так как точка А лежит на диаметре, то О1А лежит на той же прямой, что и диаметр.
3. Точка А находится на расстоянии 6 см от центра О. Центр О1 малой окружности лежит на диаметре. Расстояние от О до А равно 6 см. Малая окружность касается диаметра в точке А. Это значит, что центр О1 находится на расстоянии r от точки А.
4. Если малая окружность касается диаметра в точке А, то центр О1 находится на расстоянии r от А. Так как малая окружность касается большой изнутри, то центр О1 находится на линии, соединяющей О и точку касания. Точка А лежит на диаметре.
5. Рассмотрим два случая: центр О1 находится между О и А, или А находится между О и О1.
6. Случай 1: О1 между О и А. Тогда ОА = ОО1 + О1А. 6 = (12 - r) + r. Это неверно, так как 6 не равно 12.
7. Случай 2: А между О и О1. Тогда ОО1 = ОА + АО1. 12 - r = 6 + r. 6 = 2r. r = 3 см.

Ответ: 3 см.