6. Четырёхугольник АВСD вписан в окружность. Известно, что ∠DBC = 27°, ∠ABD=61° и ∠BDC=73°. Найдите углы четырёхугольника.

Краткое пояснение:

Углы, опирающиеся на одну и ту же дугу окружности, равны. Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180°.

Пошаговое решение:

1. Находим ∠A: Угол ∠A является вписанным углом, опирающимся на дугу BCD. Угол ∠A = ∠DBC + ∠ABD = 27° + 61° = 88°.
2. Находим ∠C: Угол ∠C является вписанным углом, опирающимся на дугу BAD. Угол ∠C = ∠BDC + ∠BDA. Нам известно ∠BDC = 73°. Угол ∠BDA опирается на дугу BA. Угол ∠BCA опирается на ту же дугу BA. ∠BCA = ∠ABD = 61°. Значит, ∠BDA = ∠BCA = 61°.
3. Сумма углов ∠C: ∠C = ∠BDC + ∠BDA = 73° + 61° = 134°.
4. Проверка: Сумма противоположных углов ∠A и ∠C должна быть 180°. 88° + 134° = 222°. Это неверно.
5. Переосмысление: Угол ∠A и ∠C - противоположные, значит ∠A + ∠C = 180°. Угол ∠B и ∠D - противоположные, значит ∠B + ∠D = 180°.
6. Находим ∠A: Угол ∠A вписан и опирается на дугу BCD. Угол ∠CAD опирается на дугу CD, угол ∠CAB опирается на дугу CB.
7. Используем известные углы, опирающиеся на дуги:
• Угол DBC = 27° опирается на дугу DC.
• Угол DAC также опирается на дугу DC. Значит, ∠DAC = 27°.
• Угол ABD = 61° опирается на дугу AD.
• Угол ACD также опирается на дугу AD. Значит, ∠ACD = 61°.
• Угол BDC = 73° опирается на дугу BC.
• Угол BAC также опирается на дугу BC. Значит, ∠BAC = 73°.
8. Находим углы четырёхугольника:
• ∠A = ∠BAC + ∠CAD = 73° + 27° = 100°.
• ∠B = ∠ABD + ∠DBC = 61° + 27° = 88°.
• ∠C = ∠ACD + ∠ACB. Угол ACB опирается на дугу AB. Угол ADB опирается на дугу AB. ∠ADB = ∠ABD = 61°. Значит, ∠ACB = 61°.
• ∠C = 61° + 61° = 122°.
• ∠D = ∠BDC + ∠BDA. Угол BDA опирается на дугу BA. Угол BCA опирается на дугу BA. ∠BCA = 61°. Значит, ∠BDA = 61°.
• ∠D = 73° + 61° = 134°.
9. Проверка:
• ∠A + ∠C = 100° + 122° = 222°. Неверно.
• ∠B + ∠D = 88° + 134° = 222°. Неверно.
10. Перепроверка рассуждений:
• ∠DBC = 27° (дуга DC) → ∠DAC = 27°.
• ∠ABD = 61° (дуга AD) → ∠ACD = 61°.
• ∠BDC = 73° (дуга BC) → ∠BAC = 73°.
• Угол A = ∠BAC + ∠CAD = 73° + 27° = 100°.
• Угол B = ∠ABD + ∠DBC = 61° + 27° = 88°.
• Угол C = ∠ACB + ∠ACD. Угол ACB опирается на дугу AB. Угол ADB опирается на дугу AB. ∠ADB = ?
• Угол D = ∠BDC + ∠BDA. Угол BDA опирается на дугу BA. ∠BCA опирается на дугу BA. ∠BCA = ?
• Нужно найти ∠BCA и ∠BDA.
• В треугольнике BCD: ∠CDB = 73°, ∠DBC = 27°. ∠BCD = 180° - 73° - 27° = 80°.
• ∠BCD = ∠BCA + ∠ACD = ∠BCA + 61° = 80°.
• ∠BCA = 80° - 61° = 19°.
• Угол BDA опирается на дугу BA, значит ∠BDA = ∠BCA = 19°.
• Угол D = ∠BDC + ∠BDA = 73° + 19° = 92°.
• Угол C = ∠ACD + ∠ACB = 61° + 19° = 80°.
• Проверка:
• ∠A + ∠C = 100° + 80° = 180°. Верно.
• ∠B + ∠D = 88° + 92° = 180°. Верно.

Ответ: Углы четырехугольника равны: ∠A = 100°, ∠B = 88°, ∠C = 80°, ∠D = 92°.