6. Дано: A₁A₂A₃A₄ — равнобедренная трапеция. По рисунку основания равны 14 и 4, боковое ребро призмы равно 5√3, угол между диагональю A₁′A₃ и её проекцией A₁A₃ на основание равен 30°. Найти Sполн.

Обозначим высоту призмы через \(H\). В прямоугольном треугольнике с гипотенузой \(A_1'A_3\) и проекцией \(A_1A_3\) имеем \(\tan30^\circ=H/A_1A_3\). Так как \(H=5\sqrt3\), получаем \(A_1A_3=15\).

У равнобедренной трапеции с основаниями 14 и 4 горизонтальная проекция диагонали равна половине суммы оснований: \((14+4)/2=9\). Поэтому высота трапеции равна \(\sqrt{15^2-9^2}=12\). Горизонтальный отступ каждой боковой стороны равен \((14-4)/2=5\), значит, боковая сторона трапеции равна \(\sqrt{12^2+5^2}=13\).

Площадь основания: \(S_{осн}=\frac{14+4}{2}\cdot12=108\). Периметр основания: \(P=14+4+2\cdot13=44\).

Тогда \(S_{полн}=PH+2S_{осн}=44\cdot5\sqrt3+216=220\sqrt3+216\).

Ответ: \(220\sqrt3+216\).