6. Даны координаты трёх вершин прямоугольника ABCD: А (-1; -3), С (5; 1) и D (5;-3). 1) Начертите этот прямоугольник. 2) Найдите координаты вершины В. 3) Найдите координаты точки пересечения диагоналей прямоугольника. 4) Вычислите площадь и периметр прямоугольника, считая, что длина единичного отрезка координатных осей равна 1 см.

Решение:

1. Начертите прямоугольник:

   Отметьте на координатной плоскости точки A(-1, -3), C(5, 1) и D(5, -3). Так как ABCD — прямоугольник, то стороны AD и CD перпендикулярны. Найдём координаты вершины B.

   • Учитывая, что AD параллельна BC, а CD параллельна AB:
     • x-координата точки B будет такой же, как у точки A (x = -1).
     • y-координата точки B будет такой же, как у точки C (y = 1).
     Следовательно, координаты вершины B: (-1, 1).

   Теперь можно начертить прямоугольник, соединив точки A, B, C, D.

2. Координаты вершины B: (-1; 1).
3. Координаты точки пересечения диагоналей: Точка пересечения диагоналей прямоугольника является серединой каждой из диагоналей (AC и BD). Найдем середину диагонали AC. Используем формулу середины отрезка: \( M = (\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}) \). Подставим координаты A(-1, -3) и C(5, 1): \( M = (\frac{-1 + 5}{2}, \frac{-3 + 1}{2}) = (\frac{4}{2}, \frac{-2}{2}) = (2, -1) \). Координаты точки пересечения диагоналей: (2; -1).
4. Площадь и периметр прямоугольника:

   Сначала найдем длины сторон прямоугольника. Они соответствуют расстояниям между точками.

   • Длина стороны AD: Так как x-координаты точек A и D разные, а y-координаты одинаковые, то длина AD равна разности x-координат: \( |5 - (-1)| = |5 + 1| = 6 \) см.
   • Длина стороны CD: Так как y-координаты точек C и D разные, а x-координаты одинаковые, то длина CD равна разности y-координат: \( |1 - (-3)| = |1 + 3| = 4 \) см.

   Площадь прямоугольника: \( S = \text{длина} \times \text{ширина} \) \( S = 6 \text{ см} \times 4 \text{ см} = 24 \text{ см}^2 \).

5. Периметр прямоугольника: \( P = 2 \times (\text{длина} + \text{ширина}) \) \( P = 2 \times (6 \text{ см} + 4 \text{ см}) = 2 \times 10 \text{ см} = 20 \text{ см} \).

Ответ:

• 1) Прямоугольник начерчен.
• 2) Координаты вершины B: (-1; 1).
• 3) Координаты точки пересечения диагоналей: (2; -1).
• 4) Площадь прямоугольника: 24 см², периметр прямоугольника: 20 см.