6. Диагонали трапеции ABCD являются биссектрисами её углов при большей основе AD. 1) Докажите, что трапеция ABCD — равнобедренная. 2) Докажите, что ΔAOD — равнобедренный (O — точка пересечения диагоналей).

Пусть \(AD\parallel BC\), причём \(AD\) — большая основа. Диагональ \(AC\) биссектрисa угла \(A\), поэтому \(\angle DAC=\angle CAB\). Из параллельности основ \(\angle DAC=\angle ACB\) (накрест лежащие углы). Значит, \(\angle CAB=\angle ACB\), откуда \(AB=BC\).

Аналогично, диагональ \(BD\) биссектрисa угла \(D\): \(\angle ADB=\angle BDC\). Из \(AD\parallel BC\) следует \(\angle ADB=\angle DBC\). Поэтому \(\angle DBC=\angle BDC\), и \(BC=CD\).

Следовательно, \(AB=CD\), то есть трапеция равнобедренная.

Так как \(AB=CD\), в равнобедренной трапеции углы при основании \(AD\) равны: \(\angle DAB=\angle CDA\). Диагонали делят эти углы пополам, поэтому \(\angle OAD=\angle ADO\). В треугольнике AOD равные углы лежат напротив равных сторон, значит, \(AO=OD\).

Ответ: \(ABCD\) — равнобедренная трапеция; \(\triangle AOD\) равнобедренный, \(AO=OD\).