6. Докажите, что при любых значениях переменной значение выражения является отрицательным числом: \(y+\frac{2y^2+3y+1}{y^2-1}-\frac{y^2+2y}{y-1}\).

Область допустимых значений: \(y\ne1\) и \(y\ne-1\), поскольку \(y^2-1=(y-1)(y+1)\).

Разложим на множители числитель второй дроби и знаменатель первой: \(2y^2+3y+1=(2y+1)(y+1)\), \(y^2-1=(y-1)(y+1)\). Тогда выражение упрощается:

\[y+\frac{2y+1}{y-1}-\frac{y(y+2)}{y-1}=y+\frac{2y+1-y^2-2y}{y-1}=y+\frac{1-y^2}{y-1}.\]

Так как \(1-y^2=-(y-1)(y+1)\), получаем \(y-(y+1)=-1\). Число \(-1\) отрицательное.

Ответ: выражение равно \(-1\) при всех допустимых значениях \(y\), следовательно, оно отрицательно.