6. Докажите, что треугольник ABC равнобедренный, и найдите его медиану, проведённую к основанию, если вершины треугольника имеют координаты A(0; 1), B(1; −4), C(5; 2).

Найдём квадраты длин сторон:

\(AB^2=(1-0)^2+(-4-1)^2=1+25=26\).

\(AC^2=(5-0)^2+(2-1)^2=25+1=26\).

Следовательно, \(AB=AC\), поэтому треугольник равнобедренный с основанием \(BC\).

Середина основания \(BC\): \(K=(\frac{1+5}{2};\frac{-4+2}{2})=(3;-1)\). Медиана проводится из вершины A к этой середине.

Её длина: \(AK=\sqrt{(3-0)^2+(-1-1)^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}\).

Ответ: \(AB=AC\); медиана к основанию BC имеет длину \(\sqrt{13}\).