6. Докажите, что в прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°) sin²∠A + cos²∠A = 1.

6. Доказательство:

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C:

• \( \sin A = \frac{BC}{AB} \) (отношение противолежащего катета к гипотенузе)
• \( \cos A = \frac{AC}{AB} \) (отношение прилежащего катета к гипотенузе)

Возведем оба выражения в квадрат:

• \( \sin^2 A = \left( \frac{BC}{AB} \right)^2 = \frac{BC^2}{AB^2} \)
• \( \cos^2 A = \left( \frac{AC}{AB} \right)^2 = \frac{AC^2}{AB^2} \)

Сложим полученные выражения:

• \( \sin^2 A + \cos^2 A = \frac{BC^2}{AB^2} + \frac{AC^2}{AB^2} = \frac{BC^2 + AC^2}{AB^2} \)

По теореме Пифагора \( BC^2 + AC^2 = AB^2 \). Подставляем это в наше выражение:

• \( \sin^2 A + \cos^2 A = \frac{AB^2}{AB^2} = 1 \)

Что и требовалось доказать.

Доказано.