6. Докажите тождество (1 + ctg² α) sin⁴ α + cos² α = 1.

При \(\sin\alpha\ne0\) используем определение \(\operatorname{ctg}\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\):

\((1+\operatorname{ctg}^2\alpha)\sin^4\alpha+\cos^2\alpha=\left(1+\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}\right)\sin^4\alpha+\cos^2\alpha\).

Сложим дроби в скобках и сократим:

\(=\frac{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}\sin^4\alpha+\cos^2\alpha=\frac{1}{\sin^2\alpha}\sin^4\alpha+\cos^2\alpha=\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\).

Тождество доказано для всех значений, где выражение определено, то есть при \(\sin\alpha\ne0\).