6. Докажите тождество $\frac{k}{k-m}+\frac{m^2-k^2}{m(k+m)}:\frac{m^2-2mk+k^2}{k^2}=-\frac{k}{m}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 6. Докажите тождество $\frac{k}{k-m}+\frac{m^2-k^2}{m(k+m)}:\frac{m^2-2mk+k^2}{k^2}=-\frac{k}{m}$.$ Фото задания

Accepted Answer

В записи перед второй дробью виден знак «+», а между второй и третьей дробями — «:»; решаем именно это прочтение.

Область допустимых значений: $k\ne0$, $m\ne0$, $k\ne m$, $k\ne-m$. Делитель также должен быть ненулевым, то есть $k\ne m$.
Упростим деление дробей: $\frac{m^2-k^2}{m(k+m)}:\frac{m^2-2mk+k^2}{k^2}=\frac{(m-k)(m+k)}{m(m+k)}\cdot\frac{k^2}{(m-k)^2}=\frac{k^2}{m(m-k)}$.
Сложим с первой дробью: $\frac{k}{k-m}+\frac{k^2}{m(m-k)}=-\frac{k}{m-k}+\frac{k^2}{m(m-k)}=\frac{-km+k^2}{m(m-k)}$.
Числитель равен $k(k-m)=-k(m-k)$, поэтому результат равен $-\frac{k}{m}$. Тождество доказано на указанной области допустимых значений.

6. Докажите тождество \(\frac{k}{k-m}+\frac{m^2-k^2}{m(k+m)}:\frac{m^2-2mk+k^2}{k^2}=-\frac{k}{m}\).