6. Доп. задание. Докажите, что при всех значениях $b\ne\pm1$ значение выражения $(b-1)^2\left(\frac{1}{b^2-2b+1}+\frac{1}{b^2-1}\right)+\frac{2}{b+1}$ не зависит от $b$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 6. Доп. задание. Докажите, что при всех значениях $b\ne\pm1$ значение выражения…$ Фото задания

Accepted Answer

Разложим знаменатели: $b^2-2b+1=(b-1)^2$, $b^2-1=(b-1)(b+1)$. Учитывая условие $b\ne\pm1$, получаем:

$(b-1)^2\left(\frac{1}{(b-1)^2}+\frac{1}{(b-1)(b+1)}\right)+\frac{2}{b+1}$

$=1+\frac{b-1}{b+1}+\frac{2}{b+1}=1+\frac{b+1}{b+1}=2.$

Получилось постоянное число, не зависящее от $b$.

Ответ: значение выражения всегда равно 2.

6. Доп. задание. Докажите, что при всех значениях \(b\ne\pm1\) значение выражения \((b-1)^2\left(\frac{1}{b^2-2b+1}+\frac{1}{b^2-1}\right)+\frac{2}{b+1}\) не зависит от \(b\).