6. Два велосипедиста одновременно отправляются в 100-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 15 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 6 часов раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.

Задание 6. Задача на движение

Это задача на движение, где нам нужно найти скорость. Давайте обозначим неизвестные и известные величины:

Дано:

• Общее расстояние: \( S = 100 \) км.
• Пусть скорость второго велосипедиста равна \( v \) км/ч.
• Скорость первого велосипедиста на 15 км/ч больше, значит, \( v_1 = v + 15 \) км/ч.
• Время первого велосипедиста на 6 часов меньше времени второго.

Найти: скорость второго велосипедиста \( v \).

Решение:

Вспомним формулу движения: \( S = v \cdot t \), откуда \( t = \frac{S}{v} \).

Время, которое затратил второй велосипедист: \( t_2 = \frac{100}{v} \)

Время, которое затратил первый велосипедист: \( t_1 = \frac{100}{v+15} \)

По условию, первый велосипедист прибыл на 6 часов раньше, значит, его время на 6 часов меньше:

\[ t_1 = t_2 - 6 \]

Подставим наши выражения для времени:

\[ \frac{100}{v+15} = \frac{100}{v} - 6 \]

Теперь решим это уравнение. Чтобы избавиться от дробей, умножим всё на \( v(v+15) \), где \( v \neq 0 \) и \( v \neq -15 \) (что очевидно, так как скорость не может быть отрицательной).

\[ 100v = 100(v+15) - 6v(v+15) \]\[ 100v = 100v + 1500 - 6v^2 - 90v \]

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ 6v^2 + 90v - 1500 = 0 \]

Можно упростить уравнение, разделив всё на 6:

\[ v^2 + 15v - 250 = 0 \]

Теперь решаем это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 15^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-250) \]\[ D = 225 + 1000 \]\[ D = 1225 \]

Извлечём квадратный корень из дискриминанта: \( \sqrt{1225} = 35 \).

Найдем корни:

\[ v_1 = \frac{-15 - 35}{2 \cdot 1} = \frac{-50}{2} = -25 \]\[ v_2 = \frac{-15 + 35}{2 \cdot 1} = \frac{20}{2} = 10 \]

Скорость не может быть отрицательной, поэтому \( v = 10 \) км/ч.

Проверка:

Скорость второго велосипедиста: \( v = 10 \) км/ч. Время второго: \( t_2 = \frac{100}{10} = 10 \) часов.

Скорость первого велосипедиста: \( v_1 = 10 + 15 = 25 \) км/ч. Время первого: \( t_1 = \frac{100}{25} = 4 \) часа.

Разница во времени: \( 10 - 4 = 6 \) часов. Условие задачи выполнено.

Ответ: 10 км/ч