6. $FABC D$ — правильная пирамида. $AC\cap BD=O$, $FE=EC$, $EN=NC$, $OP=PD$. Какое утверждение верно? 1) $\overrightarrow{AF}\uparrow\uparrow\overrightarrow{OE}$. 2) $\overrightarrow{OE}\uparrow\downarrow\overrightarrow{NP}$. 3) $\overrightarrow{NP}\uparrow\downarrow\overrightarrow{AF}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 6. $FABC D$ — правильная пирамида. $AC\cap BD=O$, $FE=EC$, $EN=NC$, $OP=PD$. Какое утверждение верно? 1)…$ Фото задания

6. $FABC D$ — правильная пирамида. $AC\cap BD=O$, $FE=EC$, $EN=NC$, $OP=PD$. Какое утверждение верно? 1) $\overrightarrow{AF}\uparrow\uparrow\overrightarrow{OE}$. 2) $\overrightarrow{OE}\uparrow\downarrow\overrightarrow{NP}$. 3) $\overrightarrow{NP}\uparrow\downarrow\overrightarrow{AF}$.

Accepted Answer

В основании правильной пирамиды квадрат $ABCD$, а $O$ — его центр. Возьмём координаты $A=(-1,-1,0)$, $B=(-1,1,0)$, $C=(1,1,0)$, $D=(1,-1,0)$, $F=(0,0,h)$. Тогда $E$, середина $FC$, имеет координаты $(0.5,0.5,h/2)$, а $N$, середина $EC$, — $(0.75,0.75,h/4)$. Точка $P$, середина $OD$, равна $(0.5,-0.5,0)$.

Получаем $\overrightarrow{OE}=(0.5,0.5,h/2)$, $\overrightarrow{NP}=(-0.25,-1.25,-h/4)$, $\overrightarrow{AF}=(1,1,h)$. Следовательно, $\overrightarrow{OE}=\frac12\overrightarrow{AF}$, то есть векторы $AF$ и $OE$ сонаправлены. Векторы $OE$ и $NP$ не коллинеарны.

Ответ: 1.