6) $\frac{x^2+5x}{(x-5)^2}:\left(\frac{5}{x+5}+\frac{x^2+25}{x^2-25}-\frac{5}{5-x}\right)$;

Question

Вопрос: $Фото задания: 6) $\frac{x^2+5x}{(x-5)^2}:\left(\frac{5}{x+5}+\frac{x^2+25}{x^2-25}-\frac{5}{5-x}\right)$;$ Фото задания

Accepted Answer

Преобразуем последнее слагаемое: $-\frac{5}{5-x}=\frac{5}{x-5}$.

Приведём выражение в скобках к общему знаменателю $x^2-25=(x-5)(x+5)$:

\[\frac{5}{x+5}+\frac{x^2+25}{(x-5)(x+5)}+\frac{5}{x-5}=\frac{5(x-5)+x^2+25+5(x+5)}{(x-5)(x+5)}.\]

Упростим числитель:

\[5(x-5)+x^2+25+5(x+5)=x^2+10x+25=(x+5)^2.\]

Значит, скобки равны:

\[\frac{(x+5)^2}{(x-5)(x+5)}=\frac{x+5}{x-5}.\]

Теперь выполним деление:

\[\frac{x^2+5x}{(x-5)^2}:\frac{x+5}{x-5}=\frac{x(x+5)}{(x-5)^2}\cdot\frac{x-5}{x+5}=\frac{x}{x-5}.\]

ОДЗ: $x\ne -5$, $x\ne 5$.

Ответ: $\frac{x}{x-5}$.

6) \(\frac{x^2+5x}{(x-5)^2}:\left(\frac{5}{x+5}+\frac{x^2+25}{x^2-25}-\frac{5}{5-x}\right)\);