6. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 45 км, выехал велосипедист. Через 30 мин вслед за ним выехал второй велосипедист, который прибыл в пункт В на 15 мин раньше первого. Какова скорость первого велосипедиста, если она на 3 км/ч меньше скорости второго?

Решение:

Пусть \( v_1 \) — скорость первого велосипедиста (км/ч), а \( v_2 \) — скорость второго велосипедиста (км/ч).

Расстояние \( S = 45 \) км.

Время первого велосипедиста в пути: \( t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{45}{v_1} \) (часов).

Время второго велосипедиста в пути: \( t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{45}{v_2} \) (часов).

По условию, второй велосипедист выехал на 30 минут (0.5 часа) позже первого и прибыл на 15 минут (0.25 часа) раньше первого. Значит, разница во времени их движения составляет:

\[ t_1 - t_2 = 0.5 + 0.25 = 0.75 \) часа.

Подставим выражения для \( t_1 \) и \( t_2 \):

\[ \frac{45}{v_1} - \frac{45}{v_2} = 0.75 \]

Также по условию, скорость первого велосипедиста на 3 км/ч меньше скорости второго:

\[ v_1 = v_2 - 3 \]

Отсюда \( v_2 = v_1 + 3 \).

Подставим \( v_2 \) в уравнение для времени:

\[ \frac{45}{v_1} - \frac{45}{v_1 + 3} = 0.75 \]

Приведём к общему знаменателю:

\[ \frac{45(v_1 + 3) - 45v_1}{v_1(v_1 + 3)} = 0.75 \]

\[ \frac{45v_1 + 135 - 45v_1}{v_1^2 + 3v_1} = 0.75 \]

\[ \frac{135}{v_1^2 + 3v_1} = 0.75 \]

Умножим обе части на \( v_1^2 + 3v_1 \):

\[ 135 = 0.75(v_1^2 + 3v_1) \]

Разделим обе части на 0.75 (или умножим на \( \frac{4}{3} \)):

\[ 135 \cdot \frac{4}{3} = v_1^2 + 3v_1 \]

\[ 45 \cdot 4 = v_1^2 + 3v_1 \]

\[ 180 = v_1^2 + 3v_1 \]

Приведём к квадратному уравнению:

\[ v_1^2 + 3v_1 - 180 = 0 \]

Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(1)(-180) = 9 + 720 = 729 \).

\( \sqrt{D} = \sqrt{729} = 27 \).

\( v_{1} = \frac{-3 + 27}{2} = \frac{24}{2} = 12 \)

\( v_{2} = \frac{-3 - 27}{2} = \frac{-30}{2} = -15 \)

Скорость не может быть отрицательной, поэтому \( v_1 = 12 \) км/ч.

Найдем скорость второго велосипедиста: \( v_2 = v_1 + 3 = 12 + 3 = 15 \) км/ч.

Проверим время:

\( t_1 = \frac{45}{12} = 3.75 \) часа.

\( t_2 = \frac{45}{15} = 3 \) часа.

Разница во времени: \( 3.75 - 3 = 0.75 \) часа, что соответствует 45 минутам (30 мин + 15 мин), как и было в условии.

Ответ: скорость первого велосипедиста — 12 км/ч.