6. Из вершины C прямоугольного равнобедренного треугольника ABC со стороной 10 см проведён к его плоскости перпендикуляр CM длиной 6 см. Вычислите расстояние от точки M до стороны AB.

Условие не уточняет, какая именно сторона треугольника равна 10 см. Возможны два случая.

Если равны 10 см катеты AC и BC: расстояние от C до гипотенузы AB — высота прямоугольного равнобедренного треугольника. Она равна \(\dfrac{10}{\sqrt{2}}=5\sqrt{2}\) см. Поскольку CM перпендикулярен плоскости треугольника, расстояние от M до AB составляет:

\(\sqrt{CM^2+(5\sqrt{2})^2}=\sqrt{6^2+50}=\sqrt{86}\) см.

Если гипотенуза AB равна 10 см: высота из C к AB равна половине гипотенузы, то есть 5 см. Тогда расстояние от M до AB равно:

\(\sqrt{CM^2+5^2}=\sqrt{6^2+25}=\sqrt{61}\) см.

Ответ: \(\sqrt{86}\) см, если 10 см — длина катетов; \(\sqrt{61}\) см, если 10 см — длина гипотенузы AB.