6. Касательные в точках M и N окружности с центром в точке O пересекаются под углом 84°. Найдите ∠NMO

Решение:

Пусть точка пересечения касательных — K. Тогда \( \angle MKN = 84° \).

OM и ON — радиусы окружности, проведенные в точки касания. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.

Следовательно, \( \angle OMK = 90° \) и \( \angle ONK = 90° \).

Рассмотрим четырехугольник OMKN. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°.

\( \angle MON + \angle OMK + \angle MKN + \angle ONK = 360° \)

\( \angle MON + 90° + 84° + 90° = 360° \)

\( \angle MON + 264° = 360° \)

\( \angle MON = 360° - 264° \)

\( \angle MON = 96° \)

Теперь рассмотрим \( \triangle OMN \). Так как OM и ON — радиусы, то \( \triangle OMN \) — равнобедренный.

\( \angle OMN = \angle ONM \).

Сумма углов в \( \triangle OMN \) равна 180°:

\( \angle OMN + \angle ONM + \angle MON = 180° \)

\( 2 \angle OMN + 96° = 180° \)

\( 2 \angle OMN = 180° - 96° \)

\( 2 \angle OMN = 84° \)

\( \angle OMN = 42° \)

Ответ: 42°.