6. На окружности взяты три точки Т, № и R так, что TN:NR:TR = 7:10:3. а) найдите градусные меры дуг TN, NR, TR; б) найдите углы треугольника TNR.

Решение:

а) Найдем градусные меры дуг:

Отношение длин дуг равно отношению их градусных мер. Пусть градусные меры дуг TN, NR, TR равны 7x, 10x и 3x соответственно.

Сумма градусных мер всех дуг окружности равна 360°.

7x + 10x + 3x = 360°

20x = 360°

x = 360° / 20

x = 18°

Теперь найдем градусные меры каждой дуги:

• Дуга TN = 7x = 7 * 18° = 126°
• Дуга NR = 10x = 10 * 18° = 180°
• Дуга TR = 3x = 3 * 18° = 54°

б) Найдем углы треугольника TNR:

Углы треугольника TNR являются вписанными углами.

• Угол ∠TNR опирается на дугу TR.
• ∠TNR = (Градусная мера дуги TR) / 2 = 54° / 2 = 27°
• Угол ∠TRN опирается на дугу TN.
• ∠TRN = (Градусная мера дуги TN) / 2 = 126° / 2 = 63°
• Угол ∠TNR опирается на дугу NR.
• ∠TNR = (Градусная мера дуги NR) / 2 = 180° / 2 = 90°

Проверим сумму углов треугольника: 27° + 63° + 90° = 180°.

Ответ:

а) Градусные меры дуг: TN — 126°, NR — 180°, TR — 54°.

б) Углы треугольника TNR: ∠TNR = 27°, ∠TRN = 63°, ∠TNR = 90°.