6. Натуральные числа a, b, c, d удовлетворяют равенству 3ᵃ + 3ᵇ + 3ᶜ = 3ᵈ. Докажите.

Пусть без ограничения общности a ≤ b ≤ c. Тогда левая часть равна 3ᵃ(1 + 3ᵇ⁻ᵃ + 3ᶜ⁻ᵃ), а правая часть — 3ᵈ.

Скобка должна быть степенью числа 3. Если b > a, то выражение в скобках сравнимо с 1 по модулю 3, но больше 1; оно может быть степенью 3 только при степени 3⁰ = 1, что невозможно. Значит, b = a. Аналогично необходимо c = a: иначе скобка 2 + 3ᶜ⁻ᵃ сравнима с 2 по модулю 3 и не является степенью 3.

Тогда 3ᵃ + 3ᵃ + 3ᵃ = 3 · 3ᵃ = 3ᵃ⁺¹, откуда d = a + 1. Перестановка показателей не меняет рассуждение.

Ответ: a = b = c и d = a + 1.