3. Король начал в клетке A доски 4 × 6 и закончил в противоположной угловой клетке B, побывав в каждой клетке ровно один раз. При этом диагональные ходы чередовались с недиагональными. Сколько диагональных ходов сделал король?

На доске 24 клетки, поэтому при посещении каждой ровно один раз король сделал \(24-1=23\) хода.

Ход короля по диагонали сохраняет цвет клетки, а недиагональный ход меняет его. Клетки A и B — противоположные угловые клетки доски 4 × 6; они одного цвета. Поэтому число недиагональных ходов чётное, а число диагональных ходов при общем числе ходов 23 — нечётное.

При чередовании двух видов ходов в последовательности из 23 ходов их количества равны 11 и 12. Диагональных ходов должно быть нечётное число, значит, их 11.

Ответ: 11 диагональных ходов.