6.Найдите наибольшее значение функции f(x) = 4x – x² на отрезке [1;6].

Решение:

Чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, нужно:

1. Найти производную функции и критические точки.
2. Вычислить значения функции в критических точках, попавших в отрезок, и на концах отрезка.
3. Сравнить полученные значения.

Найдем производную функции \( f(x) = 4x - x^2 \):

\[ f'(x) = (4x)' - (x^2)' = 4 - 2x \]

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\[ 4 - 2x = 0 \]\[ 2x = 4 \]\[ x = 2 \]

Критическая точка \( x = 2 \) принадлежит отрезку \( [1, 6] \).

Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке:

• При \( x = 1 \): \( f(1) = 4(1) - 1^2 = 4 - 1 = 3 \)
• При \( x = 2 \): \( f(2) = 4(2) - 2^2 = 8 - 4 = 4 \)
• При \( x = 6 \): \( f(6) = 4(6) - 6^2 = 24 - 36 = -12 \)

Сравнивая значения \( 3, 4, -12 \), видим, что наибольшее значение равно 4.

Ответ: Наибольшее значение функции равно 4.