6) Найдите наименьшее целое число \(x\), удовлетворяющее системе неравенств \(\begin{cases}13-\dfrac{3-7x}{10}+\dfrac{x+1}{2}<14-\dfrac{7-8x}{2},\\3(3x-5)+4(14-x)>18-\dfrac{5(2x-6)}{2}.\end{cases}\)

Решим первое неравенство. Умножим обе части на 10:

\(130-(3-7x)+5(x+1)<140-5(7-8x)\).

После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых получаем \(132+12x<105+40x\), откуда \(27<28x\), то есть \(x>\dfrac{27}{28}\).

Решим второе неравенство:

\(9x-15+56-4x>18-\dfrac{10x-30}{2}\).

Упростим: \(5x+41>33-5x\), поэтому \(10x>-8\), то есть \(x> -\dfrac45\).

Пересечение решений системы задаётся более строгим условием \(x>\dfrac{27}{28}\). Наименьшее целое число, удовлетворяющее ему, — 1.

Ответ: 1.