6. Найдите периметр параллелограмма по данным рисунка: диагонали AC и BD пересекаются в точке O; BO=10, BO перпендикулярна AC, AO=OC; внешний угол при D равен 60°.

В параллелограмме диагонали делятся точкой пересечения пополам, значит \(OD=BO=10\). Угол 60° на рисунке внешний, поэтому внутренний угол при D равен \(180^\circ-60^\circ=120^\circ\).

Так как \(BO\perp AC\), а точки A, O, C лежат на AC, треугольник AOD прямоугольный при O. Угол ADO равен 60°: OD лежит на диагонали BD, которая в данном параллелограмме делит угол при D пополам (это следует из перпендикулярности диагоналей: параллелограмм с перпендикулярными диагоналями является ромбом, а диагонали ромба делят углы пополам).

В прямоугольном треугольнике AOD с углом 60° сторона AD равна \(\frac{OD}{\cos60^\circ}=\frac{10}{1/2}=20\). Параллелограмм является ромбом, поэтому все его стороны равны 20.

Периметр: \(P=4\cdot20=80\).

Ответ: 80.