6. Найдите площадь ромба, сторона которого равна 58, а одна из диагоналей равна 84.

Решение:

Площадь ромба можно найти по формуле \( S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \), где \( d_1 \) и \( d_2 \) — диагонали ромба. Также диагонали ромба делят его на четыре равных прямоугольных треугольника. В каждом таком треугольнике катетами являются половины диагоналей, а гипотенузой — сторона ромба.

Пусть \( a \) — сторона ромба, \( d_1 = 84 \), \( d_2 \) — вторая диагональ.

Тогда половина первой диагонали равна \( \frac{d_1}{2} = \frac{84}{2} = 42 \).

Используем теорему Пифагора для одного из прямоугольных треугольников:

\[ \left( \frac{d_1}{2} \right)^2 + \left( \frac{d_2}{2} \right)^2 = a^2 \]

\[ 42^2 + \left( \frac{d_2}{2} \right)^2 = 58^2 \]

\[ 1764 + \left( \frac{d_2}{2} \right)^2 = 3364 \]

\[ \left( \frac{d_2}{2} \right)^2 = 3364 - 1764 = 1600 \]

\[ \frac{d_2}{2} = \sqrt{1600} = 40 \]

Тогда \( d_2 = 40 \cdot 2 = 80 \).

Теперь найдём площадь ромба:

\[ S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 84 \cdot 80 = 42 \cdot 80 = 3360 \]

Ответ: 3360