7. Найдите меньшее основание прямоугольной трапеции, у которой площадь равна 3150√3, высота равна 30√3, а острый угол равен 30°.

Решение:

Площадь трапеции вычисляется по формуле: \( S = \frac{a + b}{2} \cdot h \), где \( a \) и \( b \) — основания трапеции, \( h \) — высота.

У нас есть \( S = 3150\sqrt{3} \) и \( h = 30\sqrt{3} \). Обозначим большее основание как \( a \) и меньшее основание как \( b \).

\[ 3150\sqrt{3} = \frac{a + b}{2} \cdot 30\sqrt{3} \]

Разделим обе части на \( 30\sqrt{3} \):

\[ \frac{3150\sqrt{3}}{30\sqrt{3}} = \frac{a + b}{2} \]

\[ 105 = \frac{a + b}{2} \]

\[ a + b = 105 \cdot 2 = 210 \]

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, боковой стороной и отрезком большего основания. Острый угол при нижнем основании равен \( 30^{\circ} \).

Высота \( h = 30\sqrt{3} \). Отрезок, который нужно найти, чтобы получить меньшее основание \( b \), равен \( a - b \).

В прямоугольном треугольнике, тангенс угла \( 30^{\circ} \) равен отношению противолежащего катета (высоты) к прилежащему катету (отрезку \( a - b \)):

\[ \tan(30^{\circ}) = \frac{h}{a - b} \]

\[ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{30\sqrt{3}}{a - b} \]

\[ a - b = 30\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 30 \cdot 3 = 90 \]

Теперь у нас есть система уравнений:

\[ \begin{cases} a + b = 210 \\ a - b = 90 \end{cases} \]

Сложим уравнения:

\[ (a + b) + (a - b) = 210 + 90 \]

\[ 2a = 300 \]

\[ a = 150 \]

Подставим \( a = 150 \) в первое уравнение:

\[ 150 + b = 210 \]

\[ b = 210 - 150 = 60 \]

Меньшее основание равно \( b = 60 \).

Ответ: 60