6. Найдите сумму первых восьми членов геометрической прогрессии: 36; -18; 9; ...

Задание 6. Геометрическая прогрессия

Данная геометрическая прогрессия:

• Первый член: \( b_1 = 36 \)
• Второй член: \( b_2 = -18 \)
• Третий член: \( b_3 = 9 \)

Найдем знаменатель прогрессии (q). Для этого разделим второй член на первый:

\[ q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-18}{36} = -\frac{1}{2} \]

Проверим, разделив третий член на второй:

\[ q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{9}{-18} = -\frac{1}{2} \]

Знаменатель прогрессии q = -1/2.

Нужно найти сумму первых восьми членов геометрической прогрессии (\( S_8 \)).

Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии:

\[ S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q} \]

Подставим наши значения (n=8, \( b_1 = 36 \), \( q = -1/2 \)):

\[ S_8 = \frac{36 × (1 - (-\frac{1}{2})^8)}{1 - (-\frac{1}{2})} \]

Сначала вычислим \( (-\frac{1}{2})^8 \):

\[ (-\frac{1}{2})^8 = (\frac{1}{2})^8 = \frac{1}{2^8} = \frac{1}{256} \]

Теперь подставим это значение обратно в формулу суммы:

\[ S_8 = \frac{36 × (1 - \frac{1}{256})}{1 + \frac{1}{2}} \]

\[ S_8 = \frac{36 × (\frac{256}{256} - \frac{1}{256})}{\frac{3}{2}} \]

\[ S_8 = \frac{36 × \frac{255}{256}}{\frac{3}{2}} \]

Теперь выполним деление дробей (умножим на обратную дробь):

\[ S_8 = 36 × \frac{255}{256} × \frac{2}{3} \]

Сократим числа:

\[ S_8 = (36 × \frac{2}{3}) × \frac{255}{256} \]

\[ S_8 = (12 × 2) × \frac{255}{256} \]

\[ S_8 = 24 × \frac{255}{256} \]

Можно сократить 24 и 256 на 8:

\[ S_8 = 3 × \frac{255}{32} \]

\[ S_8 = \frac{765}{32} \]

Можно представить в виде десятичной дроби:

\[ S_8 = 23.90625 \]

Ответ: $$\frac{765}{32}$$ (или 23.90625)