8. Решите неравенство (x + 4)² / (x² - 9) ≤ 0

Задание 8. Решение дробно-рационального неравенства

Неравенство имеет вид: \( \frac{(x + 4)^2}{x^2 - 9} ≤ 0 \)

Сначала найдем корни числителя и знаменателя:

• Числитель: \( (x + 4)^2 = 0 \) ⇒ \( x + 4 = 0 \) ⇒ \( x = -4 \). Это корень кратности 2, поэтому он не меняет знак на числовой оси.
• Знаменатель: \( x^2 - 9 = 0 \) ⇒ \( x^2 = 9 \) ⇒ \( x = ±3 \). Эти значения x, при которых знаменатель обращается в ноль, не могут входить в решение неравенства, поэтому они будут «выколотыми» точками.

Теперь определим знаки выражений на интервалах, используя числовую ось:

Расположим корни в порядке возрастания: -4, -3, 3.

У нас получаются интервалы:

• \( (-∞; -4) \)
• \( (-4; -3) \)
• \( (-3; 3) \)
• \( (3; +∞) \)

Проверим знак дроби в каждом интервале:

1. Интервал \( (-∞; -4) \): Возьмем \( x = -5 \). \( (x+4)^2 = (-5+4)^2 = (-1)^2 = 1 \) (положительное). \( x^2 - 9 = (-5)^2 - 9 = 25 - 9 = 16 \) (положительное). Дробь: +/+ = +.
2. Интервал \( (-4; -3) \): Возьмем \( x = -3.5 \). \( (x+4)^2 = (-3.5+4)^2 = (0.5)^2 = 0.25 \) (положительное). \( x^2 - 9 = (-3.5)^2 - 9 = 12.25 - 9 = 3.25 \) (положительное). Дробь: +/+ = +.
3. Интервал \( (-3; 3) \): Возьмем \( x = 0 \). \( (x+4)^2 = (0+4)^2 = 16 \) (положительное). \( x^2 - 9 = 0^2 - 9 = -9 \) (отрицательное). Дробь: +/- = -.
4. Интервал \( (3; +∞) \): Возьмем \( x = 4 \). \( (x+4)^2 = (4+4)^2 = 8^2 = 64 \) (положительное). \( x^2 - 9 = 4^2 - 9 = 16 - 9 = 7 \) (положительное). Дробь: +/+ = +.

Нам нужно, чтобы дробь была меньше или равна нулю (≤ 0). Из полученных знаков видно, что это происходит на интервале (-3; 3).

Точка \( x = -4 \) является корнем числителя. Так как неравенство нестрогое (≤), и числитель равен нулю, \( x = -4 \) будет входить в решение. Но, поскольку \( x = -4 \) находится в интервале, где дробь положительна, а нас интересует отрицательный интервал, мы учтем эту точку, но она не повлияет на сам интервал решения.

Важно: точки \( x = -3 \) и \( x = 3 \) из знаменателя не включаются в решение, так как на них происходит деление на ноль.

Таким образом, решением является интервал \( (-3; 3) \).

Ответ: $$(-3; 3)$$