6. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном семизначном телефонном номере последние четыре цифры — тройка и три двойки (в любом порядке).

Решение:

Семизначный телефонный номер имеет формат: \( \overline{XXXXXXX} \), где каждая \( X \) — цифра от 0 до 9.

Рассмотрим последние четыре цифры. Нас интересуют случаи, когда эти четыре цифры — одна тройка и три двойки.

1. Общее число возможных комбинаций последних четырех цифр:

Каждая из последних четырех цифр может быть любой из 10 цифр (0-9).

Общее число комбинаций для последних четырех цифр = \( 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10^4 = 10000 \).

2. Число благоприятных комбинаций последних четырех цифр (одна тройка и три двойки):

Нам нужно найти, сколькими способами можно расположить одну тройку и три двойки на четырех позициях.

Это задача на перестановку с повторениями. Формула: \( \frac{n!}{n_1! n_2! ... n_k!} \), где \( n \) — общее число элементов, а \( n_i \) — количество повторений каждого элемента.

Здесь \( n = 4 \) (четыре цифры), \( n_1 = 1 \) (одна тройка), \( n_2 = 3 \) (три двойки).

Число благоприятных комбинаций = \( \frac{4!}{1! 3!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{1 \times (3 \times 2 \times 1)} = \frac{24}{6} = 4 \).

Эти 4 комбинации:

• 3222
• 2322
• 2232
• 2223

3. Вероятность:

Вероятность = \( \frac{\text{Число благоприятных комбинаций}}{\text{Общее число комбинаций}} = \frac{4}{10000} = \frac{1}{2500} \).

Ответ: \( \frac{1}{2500} \).