6. Основанием прямой призмы служит равнобедренный треугольник ABC, ∠ACB = 120°, AC = CB = BB₁. Используя векторы, найдите: а) угол между прямыми AB и CB₁; б) угол между прямой CB₁ и плоскостью (ABB₁).

Обозначим общую длину \(AC=CB=BB_1=s\). Выберем координаты: \(C=(0;0;0)\), \(A=(s;0;0)\), \(B=(-\frac{s}{2};\frac{\sqrt3s}{2};0)\). Поскольку призма прямая, \(B_1=(-\frac{s}{2};\frac{\sqrt3s}{2};s)\).

а) Направляющие векторы прямых: \(\overrightarrow{AB}=(-\frac{3s}{2};\frac{\sqrt3s}{2};0)\), \(\overrightarrow{CB_1}=(-\frac{s}{2};\frac{\sqrt3s}{2};s)\). Их скалярное произведение равно \(\frac{3s^2}{2}\), а длины — \(\sqrt3s\) и \(\sqrt2s\). Поэтому \(\cos\varphi=\frac{\frac{3s^2}{2}}{\sqrt3s\cdot\sqrt2s}=\frac{\sqrt6}{4}\).

б) Плоскость \((ABB_1)\) содержит вертикальный вектор \((0;0;1)\) и вектор \(\overrightarrow{AB}\). Её нормаль можно взять \(\vec n=(\sqrt3;3;0)\). Тогда \(|\vec n|=2\sqrt3\), \(|\overrightarrow{CB_1}|=\sqrt2s\), а \(|\vec n\cdot\overrightarrow{CB_1}|=\sqrt3s\). Синус угла \(\psi\) между прямой и плоскостью равен \(\frac{|\vec n\cdot\overrightarrow{CB_1}|}{|\vec n||\overrightarrow{CB_1}|}=\frac{1}{2\sqrt2}\).

Ответ: а) \(\varphi=\arccos\frac{\sqrt6}{4}\); б) \(\psi=\arcsin\frac{1}{2\sqrt2}\).