6) Отрезки AD и BC пересекаются в точке К. Отрезки AB и CD параллельны и равны. Докажите, что точка К является серединой ВС.

Доказательство:

Дано:

Отрезки \( AD \) и \( BC \) пересекаются в точке \( K \).

\( AB \parallel CD \) и \( AB = CD \).

Доказать:

\( BK = KC \) (точка \( K \) — середина \( BC \)).

Доказательство:

Рассмотрим \( \triangle ABK \) и \( \triangle DCK \).

1. \( \angle BAK = \angle CDK \) как накрест лежащие при параллельных \( AB \parallel CD \) и секущей \( AD \).
2. \( \angle ABK = \angle DCK \) как накрест лежащие при параллельных \( AB \parallel CD \) и секущей \( BC \).
3. \( AB = CD \) по условию.

По второму признаку равенства треугольников (по двум углам и стороне между ними), \( \triangle ABK = \triangle DCK \).

Из равенства треугольников следует, что соответствующие стороны равны:

\( BK = KC \).

Следовательно, точка \( K \) является серединой отрезка \( BC \).

Что и требовалось доказать.