6. Периметр прямоугольника равен 30 см. Найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольника равна 56 см²

Решение:

Пусть стороны прямоугольника равны \( a \) и \( b \). Известно, что:

Периметр: \( 2(a + b) = 30 \) см

Площадь: \( a · b = 56 \) см²

1. Из уравнения периметра найдём сумму сторон: \( a + b = \frac{30}{2} \) \( \Rightarrow \) \( a + b = 15 \).
2. Выразим одну сторону через другую, например \( a = 15 - b \).
3. Подставим это выражение в уравнение площади: \( (15 - b) · b = 56 \)
4. Раскроем скобки: \( 15b - b^2 = 56 \)
5. Приведём к стандартному виду квадратного уравнения: \( b^2 - 15b + 56 = 0 \)
6. Решим квадратное уравнение, найдя дискриминант: \( D = (-15)^2 - 4 · 1 · 56 = 225 - 224 = 1 \)
7. Найдём корни уравнения (стороны прямоугольника):
• \( b_1 = \frac{15 + \sqrt{1}}{2} = \frac{15 + 1}{2} = \frac{16}{2} = 8 \)
• \( b_2 = \frac{15 - \sqrt{1}}{2} = \frac{15 - 1}{2} = \frac{14}{2} = 7 \)
8. Если \( b = 8 \) см, то \( a = 15 - 8 = 7 \) см.
9. Если \( b = 7 \) см, то \( a = 15 - 7 = 8 \) см.

Таким образом, стороны прямоугольника равны 7 см и 8 см.

Ответ: 7 см и 8 см