6. Показать, что геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей, если: 1) $b_2=-81$, $S_2=162$; 2) $b_2=33$, $S_2=67$; 3) $b_1+b_2=130$, $b_1=b_3=120$; 4) $b_2+b_4=68$, $b_2-b_4=60$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 6. Показать, что геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей, если: 1) $b_2=-81$, $S_2=162$; 2) $b_2=33$,…$ Фото задания

6. Показать, что геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей, если: 1) $b_2=-81$, $S_2=162$; 2) $b_2=33$, $S_2=67$; 3) $b_1+b_2=130$, $b_1=b_3=120$; 4) $b_2+b_4=68$, $b_2-b_4=60$.

Accepted Answer

Геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей, если $|q|<1$.

\[b_1+b_2=S_2,\qquad b_1=162-(-81)=243.\] Тогда \[q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{-81}{243}=-\frac13,\qquad |q|=\frac13<1.\]
\[b_1+b_2=67,\qquad b_1=67-33=34.\] Тогда \[q=\frac{33}{34},\qquad |q|=\frac{33}{34}<1.\]
В условии на фотографии записано $b_1+b_2=130$ и одновременно $b_1=b_3=120$. Эти данные противоречивы: из $b_1=120$ следует $b_2=10$, поэтому $q=\frac1{12}$, а тогда $b_3=\frac{120}{144}\ne120$. Поэтому третий пункт в таком прочтении доказать нельзя; нужна уточнённая фотография этой строки.
Сложим и вычтем уравнения: \[2b_2=128,\qquad b_2=64;\] \[2b_4=8,\qquad b_4=4.\] Так как $b_4=b_2q^2$, то \[q^2=\frac{b_4}{b_2}=\frac4{64}=\frac1{16},\qquad q=\pm\frac14.\] В обоих случаях $|q|=\frac14<1$.

Ответ: 1) $q=-\frac13$; 2) $q=\frac{33}{34}$; 3) данные на фото противоречивы; 4) $q=\pm\frac14$. Во всех определённых случаях $|q|<1$.

6. Показать, что геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей, если: 1) \(b_2=-81\), \(S_2=162\); 2) \(b_2=33\), \(S_2=67\); 3) \(b_1+b_2=130\), \(b_1=b_3=120\); 4) \(b_2+b_4=68\), \(b_2-b_4=60\).

Ответ: