6. Правильный восьмиугольник вписан B окружность. Центральный угол, соответствующий одной стороне восьмиугольника, задаёт круговой сектор площадью 3л. Найдите площадь восьмиугольника.

Решение:

Правильный восьмиугольник имеет 8 равных сторон.

Центральный угол, соответствующий одной стороне правильного n-угольника, равен \( \frac{360^{\circ}}{n} \).

Для восьмиугольника (n=8) центральный угол равен:

• \[ \alpha = \frac{360^{\circ}}{8} = 45^{\circ} \]

Площадь кругового сектора, соответствующего одной стороне восьмиугольника, равна 3\(\pi\).

Формула площади сектора:

• \[ S_{сектор} = \frac{\alpha}{360^{\circ}} \cdot S_{круга} \]

Где \( S_{круга} \) — площадь всего круга.

Подставляем известные значения:

• \[ 3\pi = \frac{45^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot S_{круга} \]
• \[ 3\pi = \frac{1}{8} \cdot S_{круга} \]
• \[ S_{круга} = 8 \cdot 3\pi = 24\pi \]

Площадь правильного восьмиугольника, вписанного в окружность, можно найти как сумму площадей 8 одинаковых треугольников, каждый из которых имеет две стороны, равные радиусу круга (R), и угол между ними, равный центральному углу (45°).

Площадь одного такого треугольника:

• \[ S_{триангула = \frac{1}{2} R^2 \sin(\alpha) \]

Площадь восьмиугольника равна 8 площадям этих треугольников:

• \[ S_{восьмиугольника} = 8 \cdot S_{триангула} = 8 \cdot \frac{1}{2} R^2 \sin(45^{\circ}) = 4 R^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} R^2 \]

Нам нужно найти R. Мы знаем, что площадь круга \( S_{круга} = \pi R^2 = 24\pi \). Отсюда следует, что \( R^2 = 24 \).

Теперь подставим \( R^2 = 24 \) в формулу площади восьмиугольника:

• \[ S_{восьмиугольника} = 2\sqrt{2} \cdot 24 = 48\sqrt{2} \]

Ответ: $48·\sqrt{2}$