6. При каких значениях а уравнение (a + 3)x² + 15x - 27 = 0 имеет два корня?

Решение:

Квадратное уравнение \( (a+3)x^2 + 15x - 27 = 0 \) имеет два корня, если выполняются два условия:

1. Первое условие: Коэффициент при \( x^2 \) не равен нулю, иначе уравнение не будет квадратным.
\[ a + 3
e 0 \]
\[ a
e -3 \]
2. Второе условие: Дискриминант должен быть больше нуля.
\[ D = b^2 - 4ac \]

Здесь \( a_{коэф} = a + 3 \), \( b = 15 \), \( c = -27 \).

\[ D = 15^2 - 4(a+3)(-27) \]
\[ D = 225 + 108(a+3) \]
\[ D = 225 + 108a + 324 \]
\[ D = 108a + 549 \]

Приравняем дискриминант к нулю, чтобы найти границу:

\[ 108a + 549 = 0 \]
\[ 108a = -549 \]
\[ a = -\frac{549}{108} \]

Сократим дробь. Оба числа делятся на 9:

\[ a = -\frac{61}{12} \]

Чтобы было два корня, \( D > 0 \), значит, \( 108a + 549 > 0 \), откуда \( a > -\frac{61}{12} \).

Учитывая первое условие \( a
e -3 \), и \( -3 = -36/12 \), а \( -61/12 \approx -5.08 \). Значит, \( a = -3 \) попадает в диапазон \( a > -61/12 \).

Таким образом, \( a > -\frac{61}{12} \) и \( a
e -3 \).

Ответ: \( a > -\frac{61}{12} \) и \( a
e -3 \).