6. При каких значениях b множеством решений неравенства 4x+6>b/5 является числовой промежуток (3; +∞)?

Решение:

Неравенство \( 4x + 6 > \frac{b}{5} \) должно иметь решением промежуток \( (3; +\infty) \). Это означает, что при \( x = 3 \) неравенство должно быть равносильно равенству, а при \( x < 3 \) — быть неверным.

Сначала преобразуем неравенство:

\[ 4x > \frac{b}{5} - 6 \]
\[ x > \frac{1}{4} \left( \frac{b}{5} - 6 \right) \]

По условию, решением является \( x > 3 \). Следовательно, мы можем приравнять правые части:

\[ \frac{1}{4} \left( \frac{b}{5} - 6 \right) = 3 \]

Умножим обе части на 4:

\[ \frac{b}{5} - 6 = 12 \]

\[ \frac{b}{5} = 12 + 6 \]
\[ \frac{b}{5} = 18 \]

Умножим обе части на 5:

\[ b = 18 \cdot 5 \]
\[ b = 90 \]

Проверим: при \( b = 90 \), неравенство будет \( 4x + 6 > \frac{90}{5} \) ⇒ \( 4x + 6 > 18 \) ⇒ \( 4x > 12 \) ⇒ \( x > 3 \). Это соответствует условию.

Ответ: \( b = 90 \).