6. При каких значениях \(x\) дробь \(\frac{\sqrt{x}-\sqrt{7}}{x-7}\) принимает наибольшее значение?

Для существования дроби необходимо \(x\ge0\) и \(x\ne7\). При этих значениях разложим знаменатель:

\[x-7=(\sqrt{x}-\sqrt{7})(\sqrt{x}+\sqrt{7}).\]

Так как \(x\ne7\), можно сократить общий множитель. Получаем \(\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{7}}\). При \(x\ge0\) знаменатель не меньше \(\sqrt{7}\) и достигает этого значения при \(x=0\). Значение исходной дроби при этом равно \(\frac{1}{\sqrt{7}}\).

Ответ: наибольшее значение достигается при \(x=0\) и равно \(\frac{1}{\sqrt{7}}\).