6. При каких значениях \(x\) дробь \(\frac{\sqrt x-\sqrt7}{x-7}\) принимает наибольшее значение?

Область определения: \(x\ge0\), \(x\ne7\).

При \(x\ne7\):

\[\frac{\sqrt x-\sqrt7}{x-7}=\frac{\sqrt x-\sqrt7}{(\sqrt x-\sqrt7)(\sqrt x+\sqrt7)}=\frac1{\sqrt x+\sqrt7}.\]

Знаменатель увеличивается при увеличении \(x\), поэтому дробь принимает наибольшее значение при наименьшем допустимом \(x\), то есть при \(x=0\).

\[\frac1{\sqrt0+\sqrt7}=\frac1{\sqrt7}=\frac{\sqrt7}{7}.\]

Ответ: при \(x=0\); наибольшее значение равно \(\frac1{\sqrt7}\).