6. При каком натуральном значении \(k\) значение дроби \(\frac{k+19}{k+6}\) — натуральное число?

Разложим дробь, выделив целую часть: \(\frac{k+19}{k+6}=1+\frac{13}{k+6}\).

Чтобы значение было натуральным числом, \(k+6\) должно быть натуральным делителем числа 13. Делители 13 — это 1 и 13. Поскольку при натуральном \(k\) имеем \(k+6\geq 6\), подходит только \(k+6=13\).

Тогда \(k=7\), и значение дроби равно \(\frac{7+19}{7+6}=\frac{26}{13}=2\).

Ответ: \(k=7\).