6*. При каком значении х значения выражений х + 1, х + 5 и 2х + 4 будут последовательными членами геометрической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

Решение:

Если три числа являются последовательными членами геометрической прогрессии, то квадрат среднего члена равен произведению крайних членов.

1. Условие для последовательных членов геометрической прогрессии:

   Если b_1, b_2, b_3 — члены геометрической прогрессии, то b_2^2 = b_1 * b_3.

2. Применяем условие к данным выражениям:

   b_1 = x + 1

   b_2 = x + 5

   b_3 = 2x + 4

   (x + 5)^2 = (x + 1)(2x + 4)

3. Раскрываем скобки и решаем уравнение:

   x^2 + 10x + 25 = 2x^2 + 4x + 2x + 4

   x^2 + 10x + 25 = 2x^2 + 6x + 4

   Переносим все члены в одну сторону:

   2x^2 - x^2 + 6x - 10x + 4 - 25 = 0x^2 - 4x - 21 = 0
4. Решаем квадратное уравнение (можно использовать дискриминант или теорему Виета). Найдем корни через дискриминант:D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4*1*(-21) = 16 + 84 = 100

   x_1 = (-b + sqrt(D)) / 2a = (4 + 10) / 2*1 = 14 / 2 = 7

   x_2 = (-b - sqrt(D)) / 2a = (4 - 10) / 2*1 = -6 / 2 = -3

5. Находим члены прогрессии для каждого значения х:
   • При x = 7:

     b_1 = 7 + 1 = 8

     b_2 = 7 + 5 = 12

     b_3 = 2*7 + 4 = 14 + 4 = 18

     Проверка: 12^2 = 144, 8 * 18 = 144. Члены прогрессии: 8, 12, 18.

   • При x = -3:

     b_1 = -3 + 1 = -2

     b_2 = -3 + 5 = 2

     b_3 = 2*(-3) + 4 = -6 + 4 = -2

     Проверка: 2^2 = 4, -2 * -2 = 4. Члены прогрессии: -2, 2, -2.

Ответ:
Значение x = 7, члены прогрессии: 8, 12, 18.
Значение x = -3, члены прогрессии: -2, 2, -2.