6. Пусть a, b, c > 0. Известно, что каждый из двух трёхчленов ax² + bx + c, bx² + cx + a имеет два различных действительных корня. Докажите, что трёхчлен cx² + ax + b не имеет действительных корней.

Так как оба исходных трёхчлена имеют два различных действительных корня, их дискриминанты положительны:

\(b^2-4ac>0\) и \(c^2-4ab>0\).

Перемножим неравенства. Поскольку \(a,b,c>0\), получаем \(b^2c^2>16a^2bc\), откуда \(bc>16a^2\).

Дискриминант трёхчлена \(cx^2+ax+b\) равен \(a^2-4bc\). Из \(bc>16a^2\) следует \(a^2-4bc<a^2-64a^2<0\). Отрицательный дискриминант означает, что действительных корней нет.

Что и требовалось доказать.