6) Расположите в порядке возрастания числа

Решение:

По условию задачи, на координатной прямой отмечено число \( a \), где \( a > 1 \). Также отмечены числа \( 1/a \) и \( a-1 \).

Так как \( a > 1 \):

• \( 1/a \) будет находиться между 0 и 1.
• \( a-1 \) будет находиться между 0 и \( a \).

Сравним \( 1/a \) и \( a-1 \):

Если \( a=2 \), то \( 1/a = 1/2 \) и \( a-1 = 1 \). В этом случае \( 1/a < a-1 \).

Если \( a=1.5 \), то \( 1/a = 1/(3/2) = 2/3 \) и \( a-1 = 0.5 \). В этом случае \( 1/a > a-1 \).

Чтобы определить, какое из чисел \( 1/a \) или \( a-1 \) меньше, решим неравенство \( 1/a < a-1 \):

\( 1 < a(a-1) \) (умножаем на \( a \), так как \( a > 0 \))

\( 1 < a^2 - a \)

\( a^2 - a - 1 > 0 \)

Найдем корни уравнения \( a^2 - a - 1 = 0 \): \( a = \frac{1 ± \sqrt{1 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{1 ± \sqrt{5}}{2} \).

Так как \( a > 1 \), то \( a = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} ≈ 1.618 \) (золотое сечение).

Следовательно, если \( a > \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \), то \( 1/a < a-1 \). Если \( 1 < a < \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \), то \( 1/a > a-1 \).

Однако, на рисунке видно, что \( a \) находится правее \( 1 \), и \( 1/a \) находится левее \( 1 \).

Рассмотрим вариант 3: \( a-1, a, 1/a \). Это невозможно, так как \( a > 1 \), а \( 1/a < 1 \).

Рассмотрим вариант 4: \( 1/a, a-1, a \). Это возможно, если \( 1/a \) наименьшее, затем \( a-1 \), затем \( a \).

Поскольку \( a > 1 \), то \( a-1 > 0 \) и \( 1/a > 0 \).

Если \( a > \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \), то \( 1/a < a-1 < a \).

Если \( 1 < a < \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \), то \( a-1 < 1/a < a \).

На рисунке видно, что \( a \) является наибольшим числом. \( 1 \) отмечено, и \( a \) правее \( 1 \). \( 1/a \) левее \( 1 \).

Поскольку \( a > 1 \), то \( 0 < 1/a < 1 \). И \( a-1 \) может быть как больше, так и меньше \( 1/a \).

Сравнивая позиции на числовой прямой, \( 1/a \) ближе к 0, чем \( a-1 \) к 0. Поэтому \( 1/a < a-1 \).

Ответ: 4) \( \frac{1}{a}, a-1, a \)