6. Реши уравнение \( \frac{9}{x-2} - \frac{5}{x} = 2 \)

Решение:

1. Приведём дроби к общему знаменателю \( x(x-2) \):

\( \frac{9x - 5(x-2)}{x(x-2)} = 2 \)

\( \frac{9x - 5x + 10}{x(x-2)} = 2 \)

\( \frac{4x + 10}{x(x-2)} = 2 \)

Умножим обе части уравнения на \( x(x-2) \), при условии, что \( x \ne 0 \) и \( x \ne 2 \).

\[ 4x + 10 = 2x(x-2) \]

\[ 4x + 10 = 2x^2 - 4x \]

Перенесём все члены в правую часть:

\[ 2x^2 - 4x - 4x - 10 = 0 \]

\[ 2x^2 - 8x - 10 = 0 \]

Разделим обе части на 2:

\[ x^2 - 4x - 5 = 0 \]

Найдём корни квадратного уравнения:

\[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 \]

\[ x_1 = \frac{4 + \sqrt{36}}{2} = \frac{4+6}{2} = 5 \]

\[ x_2 = \frac{4 - \sqrt{36}}{2} = \frac{4-6}{2} = -1 \]

Оба корня \( x=5 \) и \( x=-1 \) не равны 0 и 2, поэтому являются решениями исходного уравнения.

Ответ: 5; -1