9. Не выполняя построения графика функции y = -4x² + 5x найди ее наибольшее значение.

Решение:

График функции \( y = -4x^2 + 5x \) — это парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при \( x^2 \) (a = -4) отрицательный. Следовательно, наибольшее значение функции достигается в её вершине.

Координата x вершины параболы находится по формуле: \( x_в = -\frac{b}{2a} \).

В данном случае \( a = -4 \) и \( b = 5 \).

\[ x_в = -\frac{5}{2 \cdot (-4)} = -\frac{5}{-8} = \frac{5}{8} \]

Теперь найдём значение функции в этой точке (y-координату вершины), которое и будет наибольшим значением:

\[ y_в = -4\left(\frac{5}{8}\right)^2 + 5\left(\frac{5}{8}\right) \]

\[ y_в = -4\left(\frac{25}{64}\right) + \frac{25}{8} \]

\[ y_в = -\frac{100}{64} + \frac{25}{8} \]

Сократим первую дробь:

\[ y_в = -\frac{25}{16} + \frac{25}{8} \]

Приведём к общему знаменателю 16:

\[ y_в = -\frac{25}{16} + \frac{50}{16} = \frac{25}{16} \]

Ответ: \(\frac{25}{16}\)